Polly: História dos Números Complexos

O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com essa questão. Um número complexo é um número $z$ que pode ser escrito na forma $z = x + i y$ , em que $x$ e $y$ são números reais e $i$ denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade $i 2 = - 1$ . Onde $x$ e $y$ são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de $z$ .^[1] O conjunto dos números complexos, denotado por $\mathbb{C}$ , contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de adição e multiplicação nos reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo. Esse corpo é algebricamente fechado, isto é, contém todas as soluções de quaisquer equações polinomiais com coeficientes complexos. O conjunto dos números complexos também pode ser visto como um espaço vetorial, tanto sobre $\mathbb{C}$ como sobre $\mathbb{R}$ .
Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por:

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, $x$ , no eixo horizontal e a parte imaginária, $y$ , no eixo vertical.
Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.
Em engenharia e física, é comum a troca da letra $i\,\!$ pela letra $j\,\!$ , devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.

História

O conceito de número complexo teve um desenvolvimento gradual. Começaram a ser utilizados formalmente no século XVI em fórmulas de resolução de equações de terceiro e quarto graus.
Os primeiros que conseguiram dar soluções a equações cúbicas foram Scipione del Ferro e Tartaglia. Este último, depois de ter sido alvo de muita insistência, passou os resultados que tinha obtido a Girolamo Cardano, que prometeu não divulgá-los. Cardano, depois de conferir a exatidão das resoluções de Tartaglia, não honrou sua promessa e publicou os resultados, mencionando o autor, em sua obra Ars Magna de 1545, iniciando uma enorme inimizade.
A fórmula deduzida por Tartaglia afirmava que a solução da equação $x 3 + p x + q = 0$ era dada por

$x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}}.$

Um problema inquietante percebido na época foi que algumas equações (as equações que tem três raízes reais, chamadas de casus irreducibilis) levavam a raízes quadradas de números negativos.
Por exemplo, a equação:

$x 3 - 15 x - 4 = 0$

tem três raízes reais, como se pode observar facilmente ou pelo gráfico da função:

$f (x) = x 3 - 15 x - 4$

ou por fatoração:

$x 3 - 15 x - 4 = (x - 4)(x 2 + 4 x + 1) = 0$

se e somente se:

$x = 4\,\,$ ;

$x=-2-\sqrt{3}\,\,$ ;

ou:

$\,\,x=-2+\sqrt{3}$ .

Entretanto, usando-se a fórmula de Tartaglia, chega-se a:

$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$

Essa questão evidenciou o fato de que havia mais a se investigar e a se aprender sobre os números.
Rafael Bombelli experimentou escrever as expressões:

$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}$ e $\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$

na forma:

$a+\sqrt{-b}$ e $a-\sqrt{-b}$

respectivamente. Admitindo válidas as propriedades usuais das operações tais como comutativa, distributiva etc., usou-as nas expressões obtidas, obtendo $a = 2$ e $b = 1$ . Com isso, chegou a:

$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}} = (2 + \sqrt{-1}) + (2 - \sqrt{-1}) = 4$

No início, os números complexos não eram vistos como números, mas sim como um artifício algébrico útil para se resolver equações. Descartes, no século XVII, os chamou de números imaginários.
Abraham de Moivre e Euler, no século XVIII começaram a estabelecer uma estrutura algébrica para os números complexos. Em particular, Euler denotou a raiz quadrada de -1 por $i$ . Ainda no século XVIII os números complexos passaram a ser interpretados como pontos do plano (plano de Argand-Gauss), o que permitiu a escrita de um número complexo na forma polar. Com isso, conseguiu-se calcular potências e raízes de modo eficiente e claro. Ainda no século XVIII, Gauss demonstrou o Teorema Fundamental da Álgebra.

Plano complexo:

O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss é uma representação geométrica do conjunto dos números complexos. Da mesma forma como a cada ponto da reta está associado um número real, o plano complexo associa biunivocamente o ponto ( x , y ) do plano ao número complexo x + yi. Esta associação conduz a pelo menos duas formas de representar um número complexo:

Forma retangular ou cartesiana:

$Z=(x,y)=x+iy\,$

representa o número Z em coordenadas cartesianas separando a parte real da parte imaginária.

Forma polar:

$Z= r(cos \theta+i\sin\theta)\,$

onde r é a distância euclidiana do ponto:

$Z=(x,y)\,$

até a origem do sistema de coordenadas, chamada de módulo do número complexo e denotada:

$|Z|=\sqrt{x^2+y^2}\,$

Enquanto $\theta\,$ é o ângulo entre a semi-reta $\overline{OZ}\,$ e o semi-eixo real, chamado de argumento do número complexo Z e denotado por $\arg(Z)\,$ .

Através da identidade $e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta\,$ , a forma polar é equivalente à chamada forma exponencial: $Z=re^{i\theta}\,$

Operações elementares:

O conjunto dos números complexos é um corpo. Portanto, é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. Todas as operações do corpo podem ser performadas através das propriedades associativa, comutativa e distributiva, levando em consideração a identidade $i^2=-1\,$
Sejam z e w dois números complexos dados por $z=(a,b)\,$ e $w=(c,d)\,$ então definem-se as relações e operações elementares tal como segue:

Identidade:

$z=w\,$ se e somente se $a=c\,$ e $b=d\,$ .

Soma:

$z + w = w + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b+d)i\,\!$

Produto:

$zw = wz = (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i\,\!$

Conjugado:

$\overline{z} = a - bi$ , onde $\overline{z}$ denota o conjugado de z. Outra notação usada para o conjugado de z é $z *$ .

Produto de um Complexo por seu Conjugado:

$z\cdot\overline{z} = (a + bi) (a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2 i^2 = a^2 - b^2i^2$ . Como $i 2 = - 1$ , temos que o produto de um Número Complexo $a + b i$ pelo seu Conjugado $a - b i$ se dá por: $(z)\overline{z} = a^2 + b^2$ .

Módulo:

$\left|z\right| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$

Inverso multiplicativo (para $z \neq 0$ ):

$\frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi} = \frac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{\overline{z}}{\left|z\right|^2}$

As operações de subtração e divisão são efetuadas transformando em adição com o oposto aditivo e em multiplicação com o inverso multiplicativo, respectivamente. Algumas operações são mais facilmente realizadas na forma polar:

$z = a + bi = r (\cos\varphi+ i\sin\varphi) = r e^{i\varphi}\,\!$ .

Produto:

$z \cdot w = r_1\,e^{i\varphi_1} \cdot r_2\,e^{i\varphi_2} = r_1\,r_2\,e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \,$

Inverso multiplicativo (para $z \neq 0$ ):

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r_1\,e^{i\varphi_1}} = \frac{1}{r_1} \cdot e^{-i(\varphi_1)} \,$

Divisão:

$\frac{z}{w} = \frac{r_1\,e^{i\varphi_1}}{r_2\,e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)} \,$

Potenciação:

$z^n = \big(r_1\,e^{i\varphi_1}\big)^n = r_1^n\,e^{in\varphi_1},~~ n=0,1,2,3,\ldots \,$

Conjugado:

$\overline{z} = r_1\,e^{-i\varphi_1}$

A produto de um número complexo pelo seu conjugado é:

$z \overline{z} = r_1\,e^{i\varphi_1} \cdot r_1\,e^{-i\varphi_1} = r_1 \cdot r_1\,e^{i\varphi_1-i\varphi_1} = r_1^2 \,e^0 = r_1^2$

O módulo:

Sejam z e w dois números complexos dados por $z=(a,b)\,$ e $w=(c,d)\,$ , o módulo possui as seguintes propriedades:

$\begin{array}{lcl} |z|&=&\sqrt{a^2+b^2} \\ |\overline{z}|&=&|z| \\ |z\cdot w|&=&|z|\cdot|w| \\ |z+w|&\leq& |z|+|w|\\ |z|&=&0 \Longleftrightarrow z=0 \end{array}$

A distância entre dois números complexos é definida como:

$\hbox{dist}\left(z,w\right)=|z-w|\,$

Propriedades algébricas:

O conjunto dos números complexos formam um corpo algebricamente fechado. Isso significa que toda equação algébrica de grau não nulo pode possuir como solução um número complexo. Mais formalmente, a seguinte equação

$\alpha_n z^n + \alpha_{n-1} z^{n-1}+\ldots + \alpha_1 z + \alpha_0 =0,\quad \alpha_n\neq 0\,$

possui pelo menos uma solução complexa.
Este resultado é conhecido como teorema fundamental da álgebra e foi demonstrado primeiramente pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss. Uma consequência deste teorema é que todo polinômio de grau n pode ser decomposto em um produto de n fatores lineares complexos:

$\alpha_n z^n + \alpha_{n-1} z^{n-1}+\ldots + \alpha_1 z + \alpha_0 =\alpha_n\left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)\cdots \left(z-z_n\right)\,$

Radical algébrico

O radical algébrico é definido no conjunto dos números complexos como uma função multivalente, devido ao fato que a equação algébrica:

$z^n= A\,$

possui n soluções distintas para cada $A\neq 0\,$ , que são dadas pela fórmula de De Moivre:

$z_k = |A|^{1/n}\left(e^{i(\theta+2k\pi)/n}\right),~~ k=0,1,\ldots, n-1\,$

onde $A=|A|e^{i\theta}\,$ .

Propriedades topológicas e analíticas

O conjunto dos números complexos munido da distância $\hbox{dist}\left(z,w\right)=|z-w|\,$ forma um espaço métrico completo. De fato, o módulo possui todas as características de uma norma.

Convergência nos complexos

Diz-se que uma sequência $z_n\,$ de números complexos é convergente se existe um número complexo $z\,$ tal que:

$\lim_{n\to \infty}|z-z_n|=0\,$

neste caso, denota-se:

$\lim_{n\to \infty}z_n=z\quad\hbox{ou}\quad z_n\to z\,$

É fácil verificar que se $z_n=a_n+ib_n\,$ , então $z_n\,$ converge para $z=a+ib\,$ se e somente se $a_n\,$ $a\,$ e $b_n\,$ converge para $b\,$ . converge para
Do fato de que $\left||z_n|-|z|\right|\leq |z_n-z|\,$ , é válido que se $z_n\to z\,$ então $|z_n|\to |z|\,$

O conjunto dos números complexos como extensão algébrica

No campo da álgebra abstrata, o número $i\,\!$ pode ser interpretado como o elemento que gera a extensão algébrica dos números reais contendo a raiz do polinômio $x^{2}+1\,\!$ . Isto é, o corpo $\mathbb{C}$ é isomorfo ao corpo quociente $\mathbb{R}/(x^{2}+1)$ pela aplicação $\phi : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}/(x^{2}+1)$ , homomorfismo de anéis tal que restrito aos reais é a aplicação identidade e que leva $i\,\!$ em $\phi (i) = x\,\!$ .

Logaritmos

Função logarítmica natural

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa z pela equação:

$\ln z\,\!$ = $\ln r\,\!$ + $i\,\!$ ( $\theta\,\!$ ± $2k\pi\,\!$ )

onde $r$ é o módulo e $θ$ é o argumento medido em radianos do número complexo $z$ ; $k = (1,2,3,...)$ e $ln$ $r$ $r$ . Assim, a função $l n$ $z$ é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de $l n$ $z$ o número definido por: define o logaritmo natural real positivo de

$\ln z = \ln r\,\!$ + $i\,\!$ $\theta\,\!$

Função logarítmica decimal

Em termos de logaritmos decimais, podemos definir a função logarítmica anterior como:

$\lg z = \lg r +\,\!$ $i \lg e\,\!$ ( $\theta\,\!$ ± $2k\pi\,\!$ )

Essa função também é multivalente e têm seu valor principal quando $k = 0$ .

Polly

quinta-feira, 8 de setembro de 2011

História dos Números Complexos